Doğrusal regresyon modellerinde model parametreleri doğrusal bir yapıda bulunmaktadır. Doğrusal regresyon modelleri ile ilgili yazılarıma aşağıdaki bağlantılardan ulaşabilirsiniz.
- R Uygulamaları – Bölüm 1: Basit Doğrusal Regresyon
- R Uygulamaları – Bölüm 2: Çoklu Doğrusal Regresyon
Doğrusal olmayan regresyon modellerinde ise model parametreleri doğrusal değildir ancak bağımsız değişkenler doğrusal veya doğrusal olmayan yapıda olabilir.
Doğrusal olmayan modeller konusunda yapılan çalışmalarda, bu modellerin verilere uydurulmasının zor ve uğraştırıcı olduğu görülmüştür. Doğrusal olmayan regresyon modelleri ile uğraşmanın bir yolu modelin doğrusal regresyona dönüştürülmesidir.
Literatürde çok fazla doğrusal olmayan regresyon modeline rastlamak mümkündür. Biz burada Michaelis-Menten modeli üzerinde duracağız. Bu model Bates ve Watts tarafından 1988 yılında geliştirilmiştir ve kinetik bir veri seti üzerinde çalışılmıştır. Aşağıda Michaelis-Menten modeli gösterilmektedir:
f(x,(K,V_m)=\frac{V_mx}{K+x}
Bu modelde V_m ve K, modelin parametreleridir ve doğrusal olmayan bir yapıda bulunmaktadır. Bu modeli bir veri seti üzerinde uygulayabilmek için veri setinin modele uygun bir yapıda olması gerekmektedir. Şimdi, bir veri seti üzerinde bu modeli R programlama dilini kullanarak uygulayalım:
Kinetik bir veri seti üzerinde çalışacağız. Burada;
- bağımsız değişken: Substrat Konsantrasyonu (Substrate Concentration – mmol m^{-3})
- bağımlı değişken: Alım Oranı (Uptake Rate – weight/h)
olarak belirtilmektedir.
Şimdi R’da veri setini tanıtalım ve değişkenler arasındaki ilişkiyi inceleyelim:
|
1 2 3 4 5 6 |
conc<-c(2.856829,5.005303,7.519473,22.101664,27.769976,39.198025,45.483269,203.784238) rate<-c(14.58342,24.74123,31.34551,72.96985,77.50099,96.08794,96.96624,108.88374) plot(rate ~ conc, ylab = "Uptake rate (weight/h)", xlab = Substrate ~ concentration ~(mmol ~ m^-3),pch="*") |
Grafikte değişkenler arasındaki ilişki gösterilmektedir. Bu modele ait parametreleri tahmin etmek için doğrusal regresyona dönüştürme işlemi gerçekleştirilebilir. Aşağıda adım adım doğrusal regresyona dönüştürme işlemi açıklanmaktadır.
y=\frac{V_mx}{K+x}
\frac{1}{y}=\frac{K+x}{V_mx}
\frac{1}{y}=\frac{K}{V_mx}+\frac{x}{V_mx}
\frac{1}{y}=\frac{K}{V_mx}+\frac{1}{V_m}
Son olarak bu denklemi de düzenleyerek doğrusal regresyon modeline benzetelim:
\frac{1}{y}=\frac{1}{V_m}+\frac{K}{V_m}*\frac{1}{x}
Böylece Michaelis-Menten modelini doğrusal regresyon modeline benzetmiş olduk. Burada; \beta_0 ve \beta_1 değerleri sırasıyla;
\beta_0=\frac{1}{V_m}
\beta_1=\frac{K}{V_m}
olarak gösterilebilir. Şimdi V_m ve K parametrelerini beta parametreleri cinsinden yazalım:
{V_m}=\frac{1}{\beta_0}
{K}=\frac{\beta_1}{\beta_0}
Şimdi, doğrusal regresyon modelini bu veri setine uygulayalım ve V_m ve K değerlerine ulaşalım.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
x_new<-1/conc y_new<-1/rate model<-lm(y_new~x_new) vm<-1/model$coefficients[1] K=model$coefficients[2]/model$coefficients[1] vm (Intercept) 148.2173 K x_new 26.03705 |
Yukarıdaki işlemleri R’da uyguladığımızda parametre değerlerine ulaşmaktayız. Ancak, burada dikkat edilmesi gereken bir nokta vardır. Dönüşüm yaparak elde ettiğimiz parametre değerleri, parametrelerin tahmin değerlerini yansıtmamaktadır. Bunun sebebi ise dönüşüm yapıldığında elde edilen artıklar dönüştürülmüş verilere ait değerler olmaktadır. Doğrusal olmayan regresyon modellerinde parametre tahmin değerine yakınsama yapmamızı sağlayacak iteratif yöntemler geliştirilmiştir. Bunlardan birisi Gauss-Newton yöntemi olarak isimlendirilmektedir. Bu yöntem ile hataların kareleri toplamını minimum yapacak değere ulaşana kadar iteratif bir şekilde parametreler için tahminler üretilmektedir. En düşük hataya ulaşıldığında iteratif sistem durmakta ve tahmin edilen değerler elde edilmektedir. Bu iteratif yöntemler için başlangıçta parametrelere ait değerler girilmelidir. Bu, doğrusal olmayan regresyonda “başlangıç değerleri” olarak isimlendirilmektedir. Başlangıç değerlerini elde etmek için kullanılan yöntemlerden birisi az önce adım adım işlemlerini yaptığımız doğrusal regresyona dönüştürme sistemidir. Bunun için V_m ve K başlangıç değerlerini elde ettik. Bu başlangıç değerleri sırasıyla “148.2173” ve “26.03705” olarak söylenebilir. Şimdi, doğrusal olmayan regresyon modelini R’da uygulayalım. Bunun için R’da “nls” fonksiyonu kullanılmaktadır.
|
1 2 3 |
model_nls <- nls(rate ~ Vm * conc/(K + conc), start = list(K = 26.03705, Vm = 148.2173), trace = TRUE) |
“nls” fonksiyonunun içerisinde ilk olarak formül belirtilmektedir. Michaelis-Menten modeline ait formül buraya yazılmaktadır. Daha sonra “start” argümanı yardımıyla başlangıç parametre değer ataması yapılmaktadır. Burada, doğrusal regresyona dönüştürme işlemi gerçekleştirerek elde ettiğimiz başlangıç parametre değerleri yazılmaktadır. Son olarak “trace” argümanı Gauss-Newton iterasyon yöntemi ile elde edilen iterasyonların çıktısını vermektedir. Bunu çıktı olarak almak için bu argüman “TRUE” olarak belirlenmelidir. Şimdi, iterasyon sonuçlarına bakalım:
Böylece belirlediğimiz başlangıç parametre değerlerinden itibaren devam eden iterasyon sonuçları gösterilmektedir. Sonuç olarak K parametresine ait tahmin edilen değer “17.07906”, V_m parametresine ait tahmin edilen değer ise “126.03289” olarak bulunmuştur. Şimdi, bu tahminlenen değerler kullanılarak değişkenler arasındaki ilişkinin regresyon doğrusunu oluşturalım.
|
1 2 3 4 5 |
plot(rate ~ conc, ylim = c(10, 130), ylab = "Uptake rate (weight/h)", xlab = Substrate ~ concentration ~ (mmol ~ m^-3),pch="*") lines(conc, fitted(model_nls)) |
Böylece Michaelis-Menten modeli kullanılarak değişkenler arasındaki ilişkiyi modellemiş olduk. Tabi başlangıç değerlerini belirlemek için kullanılan farklı yöntemler ve tahminlemek için kullanılan bir çok iterasyon yöntemi de bulunmaktadır. Biz burada sadece doğrusal olmayan modellerin hangi amaçla kullanıldığı ve doğrusal regresyon modellerinden farkına değinmeye çalıştık.
Herkese sağlıklı günler dilerim 🙂
Diğer yazılarıma ulaşmak için tıklayınız.
KAYNAKÇA
- Bates, D. M. and Chambers, J. M. (1992). Statistical Models in S, chapter 10 (Nonlinear Models). Chapman and Hall, Boca Raton, Fl.
- Ritz C. & Streibig J. C. (2008). Nonlinear Regression with R, Springer, New York.
- Serin T. (2010). Doğrusal Olmayan Regresyon Modellerinde Parametre Tahmin Yöntemleri, Öneriler ve Karşılaştırmaları, Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi, Ankara.